METODO DE REDUCCCION ECUACIONES XIII I
INTRODUCCION
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones. Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra (convirtiendo así un problema difícil en uno mas fácil, ¿no?).
A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones previas.
Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se utilize un método (el de reducción, por ejemplo) y que, en el siguiente paso, se utilize otro método ( el de igualación, por ejemplo ).
Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, se sustituye esta incógnita por su solución para obtener así ecuaciones con menos incógnitas.
Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados e indeterminados.
METODO DE REDUCCCION ECUACIONES
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
Para resolver un método de reducción de ecuaciones debemos realizar lo siguiente
Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga:
2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.
Restamos y resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.
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EJEMPLO DE METODO DE REDUCCCION ECUACIONES
EJERCICIO
Resolver el sistema:
(1). -1/2x - 1/3y = 4
(2). -2 + 1/4x = 1/2y
SOLUCIÓN:
Se organizan las ecuaciones para que queden los términos semejantes en columna.
(1) -1/2x - 1/3y = 4
(2) 1/4x - 1/2y = 2
Se va a reducir x, luego se halla el común denominador entre -1/2 y 1/4 y se amplifica cada solución convenientemente.
(1) -1/2x - 1/3y = 4 Se multiplica la ecuación (1) por (1/2) y queda:
(3) -1/4x - 1/6y = 2
Tomando la ecuación (2) y (3), se reducen los términos semejantes.
(3) -1/4x - 1/6y = 2
(2) 1/4x - 1/2y = 2
0x - 1/6y-1/2y = 4 Reduciendo términos semejantes, se tiene
-2/3y = 4 Se despeja y.
y = 4 (-3/2) Se resuelve la operación indicada
y = -12/2 por último, se simplifica y queda:
y = -6
Luego, se remplaza el valor de y en la ecuación (1) así:
-1/2x -1/3y = 4
-1/2x -1/3(6)= 4 Se resuelven la operación indicada y
-1/2x - 2 = 4 se transponen términos
-1/2x = 4 - 2
x = 2(-2)
x = -4
Por lo tanto, la solución del sistema es: x = - 4;
y = -6.
EJERCICIO 2. No siempre es posible eliminar directamente una incógnita. Vean el siguiente ejemplo:
Resolver el sistema:
(1) 2x + 3y = 6
(2) 5x + 2y = -7
SOLUCIÓN:
Como los coeficientes de las incógnitas son diferentes, para intentar eliminar una de ellas se debe hacer así:
(3) 4x + 6y = 12 Se multiplica la ecuación (1) por 2 y
(4) -15x - 6y = 21 se multiplica la ecuación (2) por -3, y se obtiene:
- 11x +0y = 33 Reduciendo términos semejantes
x = 33/-11 simplificando queda:
x = -3
Se sustituye el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones originales, se despeja y, resultando:
En (1)
2(-3) + 3y = 6 Remplazando el valor de x en (1)
-6 + 3y = 6 Realizando la operación indicada
3y = 6+6 Se transponen términos
3y = 12
y = 12/3 Se simplifica, obteniendo
y = 4
De ahí, la solución del sistema es: x = -3, y = 4